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(4)线性时不变——威尼斯人官方网站系统的基石(一)
仔细分析上面的对话,李雷的解释貌似很牵强,那么有没有更严谨的理论解释?答案其实很简单:只要是系数不变的滤波器,则其必然属于线性时不变(Linear Time Invariant,LTI)系统。而信号与系统理论中有一个基本的定理:任何线性时不变系统都不会产生新的频率分量。且看下面的详细分析。
1.1 LTI系统对于任意一个LTI系统,其输出y[n]可表示为输入x[n]和系统的冲激响应h[n]的卷积。
(1-1)
可以看到,通过系统h[n] 后,输入信号x[n] 的所有频率分量都有了一个增益,该增益是频率w的函数。显然,如果输入信号x[n]的频谱X(ejw)没有某部分的频率分量,那么不管H(ejw)的值有多大,也不可能在输出信号y[n]中包含该部分频率分量。该结论在频域更容易证明,即大家非常熟悉的 Y(ejω)= X(ejω)H(ejω),证明如下:
即只要输入信号的频谱在某个频段内为0,那么不管系统的频率响应在这个频段内如何大,输出信号的频谱在这个频段内也一定为0。因为0乘以任何数都等于0,就这么简单!
接下来,再仔细考虑这句话:任何线性时不变系统都不可能产生新的频率分量。也就是说,不产生新的频率分量是有前提的:该系统必须是线性时不变的。那么,什么叫线性时不变?
奥本海默所著的《信号与系统(第2版)》用整整一章详细描述了LTI系统及基于LTI系统的卷积,对于一个系统是否是LTI系统,给出了相应的判断方法。
线性:如果某个输入是由几个信号的加权和组成的,那么输出也是系统对这组信号中每个分量的响应的加权和。即:如果x1(t)通过这个系统的输出是y1(t),x2(t)通过这个系统的输出是y2(t),那么a x1(t)+b x2(t)的输出是a y1(t)+b y2(t)。 时不变:如果系统的响应不随时间改变,那么该系统就是时不变的。更具体地说,就是如果在输入信号上有一个时移,而输出信号产生同样的时移,那么这个系统就是时不变的。即:如果x(t)通过这个系统的输出是y(t),那么x(t-t0)通过这个系统的输出是y(t-t0)。 以上两个命题是可逆的,是充分必要的关系。面对如此简洁明了的描述,各位读者不觉得很美么? 用更直白的话来说,线性意味着任何一个系统,当把输入变为原来的n倍时,其输出也变为原来的n倍;当把输入叠加上另一个信号时,其输出也变为原来的输出加上叠加信号单独输入时所对应的输出。时不变意味着如果在某个时刻给系统一个激励,那么在其他任意时刻给其相同的激励,其输出仍然不变。 在前面关于“任何线性时不变(LTI)系统都不可能产生新的频率分量”的证明中,我们用到了卷积和傅里叶变换。那么什么叫卷积?为什么会有卷积这种类型的运算呢? 《信号与系统(第2版)》中先是给出了一般离散时间系统(Discrete-time System)的输入、输出关系:
其中hk[n]表示该线性系统对时移了k个时间点的冲激输入δ[n-k]的响应。注意到式(1-1)是基于线性系统的(可能是时变系统,也可能是时不变系统)。再将此式放在更为特殊的时不变系统中,则
这样就可以得到我们最为熟悉的卷积公式:
直到这里,该书才定义y[n]为该LTI系统的卷积和(Convolution Sum)。
同理,对于连续时间系统(Continuous-time System),该书也仅仅针对LTI系统给出了卷积的定义,称其为卷积积分(Convolution Integral):
考虑式(1-5)和(1-6),如果该系统不是LTI系统,则我们不能称其为卷积。
在平常的学习中,我们一提到卷积,就会想到反转、平移、相乘、求和(对于连续时间系统是积分)。但为什么这么想呢?还是因为该系统是线性时不变的!关于傅里叶变换,很多人会下意识地想到如下公式:
但这个公式存在的前提也是线性时不变,包括后续的各种傅里叶变换的性质,都是基于线性时不变的。比如式(1-2)对应的卷积性质(ConvolutionProperty)的推导过程,就用到了线性和时不变这两个前提条件。
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