本帖最后由 杨学志 于 2013-9-18 06:34 编辑
5.3 虚数i是怎样的一个数?
经常有同学对虚数的概念感到困惑,它究竟是不是数呢?如果是的话,是 一个什么样的数呢?
如果你有这样的困惑,大可不必有任何的烦恼,因为这也曾是让世界上优 秀的数学家门困惑了很多年的问题。
我想,这样的烦恼来自于大家已经建立起来是实数的概念。任何一个实 数,无论是正还是负,其平方都是非负的。现在你说有一个数的平方是 -1, 这当然会产生困惑。有同学会问,你能告诉我-1的平方根是怎么 算出来的么?
我不能告诉你,因为虚数i不是算出来的,而是规定的。这就是传说当中 的定义。
定义是一个知识体系的开始,是基础。由于有了虚数i的定义,而产生了 复变函数这门学科,现代的力学,电磁学,信号处理都建立在复变函数的 基础之上。
为了更好地理解虚数的概念,我们回顾一下数的历史。
人们最先用到的数叫自然数,就是1,2,3,4,5,...,这样数下去。家里有 几口人,养了几头牛,几只鸡,心里要有个数。
有穷人家徒四壁,你问他家里有几头牛,他怎么回答你呢?于是就有了 0,代表没有。
家里本来只有一头牛,下了头小牛变成两头了,于是产生了加法1 + 1 = 2。第二天邻居把牛借去耕地,家里又只剩下一头牛了,于是产生了减 法2-1 = 1。
有了减法,却出现了一个问题,在已有的数的概念(自然数和零)内, 不是所有的数都可以相减,被减数一定要比减数大才可以。2 - 1 =1,那么1-2 =?。
于是产生了负数,规定如果被减数小于减数,就把它们倒过 来减,然后加一个负号,这就是负数定义。1-2 = -(2-1) = -1。
类似的,人们还定义了乘法和除法。为了解决任意两个整数(除数不为 零)的除法,定义了分数。
人们曾经以为,有了分数之后,所有的数都已经找到了。
但是后来发现,边长为1的正方形的对角线的长度无法用一个分数去表达。
|